A Lower Bound For Reversible Automata

A réversible automaton is a finite automaton in which each letter induces a partial one-to-one map from the set of states into itself. We solve the following problem proposed by Pin. Given an alphabet A, does there exist a séquence of languages Kn on A which can be accepted by a réversible automaton, and such that the number of states of the minimal automaton of Kn is in O(n), while the minimal number of states of a réversible automaton accepting Kn is in O(p ) for some p > 1? We give such an example with p — ( | ) 1 2 . Resumé. Un automate réversible est un automate fini dans lequel chaque lettre réalise une fonction injective de l'ensemble des états dans lui-même. On résout dans cet article le problème suivant posé par Pin : étant donné un alphabet A, existe-t-il une suite de langages Kn sur A qui peuvent être reconnus par un automate réversible, et tels que le nombre d'états de l'automate minimal de Kn soit en O(n) alors que le nombre minimal d'états d'un automate réversible reconnaissant Kn soit en O(p) avec p > 1 ? On donne un tel exemple avec p ~ (§) ^ . AMS Subject Classification. 68Q45, 68Q70. INTRODUCTION In this paper we answer an open question on réversible automata proposed by Pin in [10]. Réversible automata form a natural class of automata with links to artificial intelligence [1], and to biprefix codes [4], Moreover réversible automata are used to study inverse monoids, inverse automata [12,13] and certain topological problems [7,10,12,13]. We prove that Computing a réversible automaton which